\begin{verbatim} 
\det\mathbf{K}(i|i)=\text{ the 
number of spanning trees of $G$}, 
\end{verbatim} 
 
Let $C_{i(j)}$ be the set of graphs 
obtained from $G$ by attaching edge 
$(v_iv_j)$ to each spanning tree 
of $G$. Denote by $C_i=\bigcup_j 
C_{i(j)}$. It is obvious that the 
collection of Hamiltonian cycles is a 
subset of $C_i$. Note that the 
cardinality of $C_i$ is $k_{ii}\det 
\mathbf{K}(i|i)$. Let $\wh X=\{\hat 
 x_1,\dots,\hat x_n\}$.