Let $\mathbf{A}=(a_{ij})$ be the 
adjacency matrix of graph $G$. The 
corresponding Kirchhoff matrix 
$\mathbf{K}=(k_{ij})$ is obtained from 
$\mathbf{A}$ by replacing in 
$-\mathbf{A}$ each diagonal entry by the 
degree of its corresponding vertex; 
i.e., the $i$th diagonal entry is 
identified with the degree of the 
$i$th vertex. It is well known that 
\begin{equation} 
\det\mathbf{K}(i|i)=\text{ the 
number of spanning trees of $G$}, 
\quad i=1,\dots,n 
\end{equation} 
where $\mathbf{K}(i|i)$ is the 
$i$th principal submatrix of 
$\mathbf{K}$.