\begin{equation}  
\begin{split}  
f_{h,\varepsilon}(x,y)  
&=\varepsilon\mathbf{E}_{x,y}\int_0^{t_\varepsilon}  
L_{x,y_\varepsilon(\varepsilon u)}\varphi(x)\,du\\  
&= h\int L_{x,z}\varphi(x)\rho_x(dz)\\  
&\quad+h\biggl[\frac{1}{t_\varepsilon}\biggl(\mathbf{E}_{y}  
  \int_0^{t_\varepsilon}L_{x,y^x(s)}\varphi(x)\,ds  
  -t_\varepsilon\int L_{x,z}\varphi(x)\rho_x(dz)\biggr)\\  
&\phantom{{=}+h\biggl[}+\frac{1}{t_\varepsilon}  
  \biggl(\mathbf{E}_{y}\int_0^{t_\varepsilon}L_{x,y^x(s)}  
    \varphi(x)\,ds -\mathbf{E}_{x,y}\int_0^{t_\varepsilon}  
   L_{x,y_\varepsilon(\varepsilon s)}  
   \varphi(x)\,ds\biggr)\biggr]\\  
&=h\widehat{L}_x\varphi(x)+h\theta_\varepsilon(x,y),  
\end{split}  
\end{equation}