Chapter 11
Projections

        ############      |P
        ############  ---•|
        ############--- ||
        ############    |
        ####--|#####   ||
        #----o||####--•|
      ----#----o|###
   ---------########
•----   ############

COP                       |--------|
                       projections-
                       ||    |||
                 -----|-| |----|-------|
                 gpelomaneatrric- |acundr/voedr psurorjfaecctesors
              ----      ----
          -----            ----
     parallel                |--perspective--|
    --------               |vanishing-points-
----        ----             ||| |  |||
-              -------| ----|| -----| ||---|
orthogonal               -oblique  po1int-  po2ints| po3ints|
|              ||| | |||
||          ||||   |   |||
elevationaxonometric| -cabinet| -cavalier| |other-
||||
|   ||
isometric| -other

11.1 Parallel Projections

               |  -|  --
               |---|--
             --| --|
           --- --- |
        -------|   |
      --- ---  |   |
    --- ---    |   |
---------------|---|-                 |  -| ---
               |||||--
             ------|
           --------|
        --- ---|   |
      --- ---  |   |
    -------    |   |
-------------------|-              |||| --|   ---
             ||||| | ---
             --|||||--
          ---- |---|||
        ---   --- |||||
      ---   ---|   ||||||
   ----  ----  |   |  |||||
---------------|---|----||||--

Orthogonal Projections

Projectors perpendicular to projective plane.

                   |------------|-
               |---------|----
            ||------------                    |
                        -----             |---|
                    -----   ---       |-----|||
                 ----        --|     |--||||--|
               --- ----   ---- |     |||----|||
             -------------     |     |---||||||
#####---#### |         |       |     ||||||||||
###---#---## |         |      --     |||||||--|
#----------- |         |  -----      |||-----||
#|#########| |-------------          |---||
#|#########|                         ||
#|#########|
#----------|
############

Oblique

Projectors not perpendicular to plane of projection.

LOST FIGURE ????

      -|---------|
    ---|     --- |
 ---   |   ---   |
-------|----     |
|      -----------
|   ---   |  ----
| --      |---
|-----------

   ----------|
 --|      ---|
---|-------  |
|  |     |   |
|  |     |   |
| ------------
|----------

11.2 Perspective Projections

     ---|
 ----- | --      -
---- --||  -||---|
|-------| |-----||
------- ||--|||||||
      --|  --------|-
        |----  ---||---|
        --

                       -••-
                   ------
                ------||
            ---- ---||
        -----  ---|||
    |----------  ||
 ||||-    ---   ||
|---------- | ||
|    ----|  |||
|  ---   | -||
|---     |--
-----------

11.3 Transformation Matrices

Parallel

xp=x - (z/tanb) * cosa yp=y - (z/tanb) * sina zp=0              (xp,   yp,   zp)
                 --
   Y           -•|---
    ||       --- |  ---
Z||| |      --   |   ---
 ||| |    ---    ----- |
   | |   --   ----     |
   |-- -|b------ ---   |
    ||-|-||        --- |
    ---||a---------------|||
    •                        X
     (x   , y   , z  )
        p     p    p

( 1  0   cosa/ tanb  0 )
  0  1   cosa/ tanb  0
  0  0       0      0
  0  0       0      1

Perspective

xp __ d = x __ z+d yp d = y __ z+d         Y              |Z
         ||          |||
         |        ----
         | ||----------•(x,   y,  z)
         |||| --- ----  |
        || ------•|-----|
      ||||----------------|||-
     ||-----------        |   X
   ||--------
  |------
•---
  (0,   0, d)

(1000)
0100
0000
001d1(x )
  y
  z
  1 = (  x )
   y
   0
  z+dd

Unified

   Z
   ||      (x,y,z)
    |           •|
    |        ||||
   -|------|||-----||
  --|   ---•         X,Y
  | | ---  (xp,yp,zp)
L||----
|---|
•-

xp =ux L + (x - ux L)t yp =uy L + (y - uy L)t 0=uz L + (z - uz L)t (         ux    )
  1  0  - uuz   0
  0  1  - uyz   0
  0  0    0    0
  0  0  - uz1L-  1

             -------|
             -geploamnaertric-
             |||  |||
            ||     -||------
       -parallel-|    perspective|
       -L =- oo |    -L-/=| oo --
       |||  ||         |
------||--|  |||     --|-|
| orthogonal |  oblique|  | 1 |
dx-=-dy =-0  ||||||| point-
          |||   |  |||
     ----||| ---|--| ||---|
     -cabinet  -cavalier  -other

11.4 Projective Depth

             |     •
           |||     ||    |
          ||||     ||   •|
        ||||  |    |||  |
       |||||  |    |•| ||
      ||||•|| ||  ||| ||
    ||||| | •||   ||| •
   || -- •|||||   •|
  ||---- |• ||
|----  ||• ||
 o. --    | ||
   ---- |||
      ---|          Z|
          ||
          |
       •|--•|
       || | ||
|------|----||------|
| -   ||| | | |   --|
| --  | | | | || -- |
|   -|| | | |  |--  |
|    |- | | | -||   |
|---•|---------•-----
---|||--|---|--||||-----||-
    o |o|--o|||o          X,   Y
         | ||           ||
      ####||####
      ####| o. ###•
      ##|#|#|##-
  •-- # o. #|#|#- o. 
    - o. #|#|#|#-#|       -•
 -   --#|#|#|-##|  | ---
•---- --|#|#|-##|  o. -  --
 -----|-|---|---|--|---•|
      ------------
         ----

Depth z

xp __ d = x_ z+d yp __ d = y_ z+d zp =z

Ax + Bz + C = 0
y + D = 0
Axp zp + Bzp + C = 0
yp zp + D = 0
  |     -
  o|   •-----
 |||| --    ----
 || ||-        ----
 || o----      --•----
 || -|  -------      ----
 ||--|   ------         ----
 ||- |----    o|  |||||||||•|
-------||||||||||||
 ---|||

Normalized Depth

xp__ d = x_ z+dy p__ d = y_ z+d zp= z_ z+d